Ein System des natürlichen Schließens der Aussagenlogik

1. Beweisen Sie die folgenden Theoreme im System des Natürlichen Schließens!

   1. ( p É p₁) É ((q É q₁) Ù(p º ~ q) É p₁Úq₁)

   2. ~ q É ~ (p É q)Ú ~ p

   3. q É (p É (q É r) É (p É r))

   4. ( p º q) Ù ~ (p º r) É ~ (q º r)

   5. p É q É p É p

   6. ( pÚ ~ p) Ù( ~ qÚq)

   7. ( p º r)Ú(q º r¹) É (p Ùq É r Úr¹)

   8. ( p É q Ù(rÚr¹) ) Ù ~ (p É r¹) É (p É q) Ù(p É r)

   9. ~ (p Ùq) É ~ p Ú ~ q

   10. p Ùq É r É (p É (q É r))

   11. ( p É q Ùr) Ù( p¹ É q¹Ùr) É (p Ùp¹ É q Ùr Ùq¹)

   12. p É ((q É q) É r) É ((q É q) É (p É r))

   13. ~ p Ú ~ q É ~ (p Ùq)

   14. p É (q É r) É (p Ùq É r)

   15. ( p É q Ùr) Ú( p¹ É q¹Ùr) É (p Ùp¹ É q Úq¹)

2. Formulieren Sie alle abgeleiteten Schlußregeln, die Sie aufgrund der folgenden Theoreme erhalten können:

   1. q É ( ~ (q É r) É ~ p É (p É r))

   2. ( p É q Ùr) Ú( p¹ É q¹Ùr) É (p Ùp¹ É q Úq¹)

   3. ( p É q Ùr) Ù( p¹ É q¹Ùr) É (p Ùp¹ É q Ùr Ùq¹)